Функция простыми словами. Что такое функция. Функции случайных чисел и возможных комбинаций
Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному .
Первоначально, понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем - у Лакруа (1806 год) - уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год) .
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Первыми это сделали векторные функции , вскоре Фреге ввёл логические функции (), а после появления теории множеств Дедекинд () и Пеано () сформулировали современное универсальное определение.
Определения
Наиболее строгим определением функции является теоретико-множественное определение (на основе понятия бинарного отношения). Часто вместо определения функции даётся её интуитивное описание; то есть понятие функции переводится на обычный язык, используя слова «закон», «правило» или «соответствие».
Интуитивное описание
Функция (отображение , операция , оператор ) - это закон или правило , согласно которому каждому элементу из множества ставится в соответствие единственный элемент из множества .
При этом говорят, что функция задана на множестве , или что отображает в .
Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент находится в функциональной зависимости от элемента . При этом переменная называется аргументом функции или независимой переменной , множество называется областью задания или областью определения функции, а элемент , соответствующий конкретному элементу - частным значением функции в точке . Множество всех возможных частных значений функции называется её областью значений или областью изменения .
Теоретико-множественное определение
В теоретической математике функцию удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого существует единственный элемент такой, что .
Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что .
Таким образом, функция - это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов , где
Обозначения
Если задана функция , которая определена на множестве и принимает значения в множестве , то есть, функция отображает множество в , то
Наличие функциональной зависимости между элементом и элементом
Функции нескольких аргументов
Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.
Если множество представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение оказывается -местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной -местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:
где .В этом случае означает, что .
Способы задания функции
Аналитический способ
Функция, как математический объект, представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).
Для задания функции пользуются выражением: . При этом, есть переменная, пробегающая область определения функции, а - область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:
Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом: (яблоко, человек), (самолет, паровоз), (груша, квадрат), (стул, человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .
Аналогично можно задавать числовые функции. Например: , где х пробегает множество вещественных чисел, задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция, как объект, представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение, как объект, есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.
Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.
Графический способ
Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных.
Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.
Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим «школьное» определение графика функции.
Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.
Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).
Связанные определения
Сужение и продолжение функции
Пусть дано отображение и .
Отображение , которое принимает на те же значения, что и функция , называется суже́нием (или, иначе ограничением ) функции на множество .
Сужение функции на множество обозначается как .
Если функция такова, что она является сужением для некоторой функции , то функция , в свою очередь, называется продолжением функции на множество .
Образ и прообраз (при отображении)
Элемент , который сопоставлен элементу , называется образом элемента (точки) (при отображении ).
Если взять целое подмножество области определения функции , то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества , а именно подмножество области значений (функции ) вида
,которое, называется образом множества (при отображении ). Это множество иногда обозначается как или .
Наоборот, взяв некоторое подмножество области значений функции , можно рассмотреть совокупность тех элементов области определения (функции ), чьи образы попадают в множество , а именно - множество вида
,которое называется (полным ) прообразом множества (при отображении ).
В том частном случае, когда множество состоит из одного элемента, скажем, , множество имеет более простое обозначение .
Тождественное отображение
Отображения, у которых совпадают область определения и область значений, называются отображениями заданного множества в себя или преобразованиями .
В частности, преобразование , которое сопоставляет каждой точке множества её саму или, что тоже самое,
для каждого ,называется тождественным .
Это отображение имеет специальное обозначение: или, проще, (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову identity («идентичность, тождественность»).
Другое обозначение тождественного преобразования - . Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве . Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют единичным .
Композиция отображений
Пусть и - два заданных отображения таких, что область значений первого отображения является подмножеством области определения второго отображения. Тогда для всякого однозначно определяется элемент такой, что , но для этого самого однозначно определяется элемент такой, что . То есть, для всякого однозначно определяется элемент такой, что . Другими словами, определено отображение такое, что
для всякого .Это отображение называется композицией отображений и и обозначается
Обратное отображение
Если отображение является взаимно однозначным или биективным (см. ниже), то определено отображение , у которого
Такое отображение называется обратным по отношению к отображению .
Отображение, у которого определено обратное, называется обратимым .
В терминах композиции функции, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: и .
Свойства
Пусть задана функция , где и - данные множества, причём . Каждая такая функция может обладать некоторыми свойствами, описание которых приведено ниже.
Образ и прообраз при отображении
Взятие образа
Положим, и - подмножества области определения. Взятие образа (или, что то же самое, применение оператора ) обладает следующими свойствами:
Последние два свойства, вообще говоря, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).
Взятие прообраза
Положим, и - подмножества множества .
По аналогии с взятием образа, взятие прообраза (переход к прообразу) обладает также следующими двумя очевидными свойствами:
Данные свойства, также, допускают обобщение на любое количество множеств, большее двух (как оно здесь сформулировано).
В случае, если отображение обратимо (см. ), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:
Поведение функций
Сюръективность
Функция называется сюръективной (или, коротко, сюръекция ), если каждому элементу множества прибытия может быть сопоставлен хотя бы один элемент области определения. Другими словами, функция сюръективна , если образ множества при отображении совпадает с множеством : .
Такое отображение называется ещё отображением на .
Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют отображением в .
Инъективность
Функция называется инъективной (или, коротко, инъекция ), если разным элементам множества сопоставлены разные элементы множества . Более формально, функция инъективна , если для любых двух элементов таких, что , непременно выполняется .
Другими словами, сюръекция - это когда «у каждого образа есть прообраз», а инъекция - это когда «разные - в разные». То есть при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов отображались в один и тот же элемент . А при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент не имел прообраза.
Биективность
Если функция является и сюръективной , и инъективной , то такую функцию называют биективной или взаимно однозначной .
Возрастание и убывание
Пусть дана функция Тогда
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Периодичность
Функция называется периодической с пери́одом , если справедливо
.Существует великое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:
- структура порядка - частичный или линейный порядок .
- алгебраическая структура - группоид , полугруппа , группа , кольцо , тело , область целостности или поле .
- структура метрического пространства - здесь задаётся функция расстояния ;
- структура евклидового пространства - здесь задаётся скалярное произведение ;
- структура топологического пространства - здесь задаётся совокупность т. н. «открытых множеств»;
- структура измеримого пространства - здесь задаётся сигма-алгебра подмножеств исходного множества (например, посредством задания меры с данной сигма-алгеброй в качестве области определения)
Природа множеств определяет и свойства соответствующих функций, поскольку эти свойства формулируются в терминах заданных на множествах структурах. Например, свойство непрерывности , требует задания топологической структуры .
Вариации и обобщения
Частично определённые функции
Частично определённая функция из множества в множество есть функция с областью определения .
В С++ определены в заголовочном файле
| Функция | Описание | Пример |
|---|---|---|
| abs(a) | модуль или абсолютное значение от а | abs(-3.0)= 3.0 abs(5.0)= 5.0 |
| sqrt(a) | корень квадратный из а, причём а не отрицательно | sqrt(9.0)=3.0 |
| pow(a, b) | возведение а в степень b | pow(2,3)=8 |
| ceil(a) | округление а до наименьшего целого, но не меньше чем а | ceil(2.3)=3.0 ceil(-2.3)=-2.0 |
| floor(a) | округление а до наибольшего целого, но не больше чем а | floor(12.4)=12 floor(-2.9)=-3 |
| fmod(a, b) | вычисление остатка от a/b | fmod(4.4, 7.5) = 4.4 fmod(7.5, 4.4) = 3.1 |
| exp(a) | вычисление экспоненты е а | exp(0)=1 |
| sin(a) | a задаётся в радианах | |
| cos(a) | a задаётся в радианах | |
| log(a) | натуральный логарифм a (основанием является экспонента) | log(1.0)=0.0 |
| log10(a) | десятичный логарифм а | Log10(10)=1 |
| asin(a) | арксинус a , где -1.0 < а < 1.0 | asin(1)=1.5708 |
Необходимо запомнить то, что операнды данных функций всегда должны быть вещественными, то есть a и b числа с плавающей точкой. Это связано с тем, что существует несколько экземпляров перегруженных функций, соответствующих списку аргументов. Тему перегруженные функции рассмотрим немного позже, а пока надо запомнить, что a и b числа с плавающей точкой. Разработаем программу, которая будет использовать математические функции.
// math_func.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
#include "stdafx.h"
#include
// код Code::Blocks
// код Dev-C++
// math_func.cpp: определяет точку входа для консольного приложения.
#include
Итак, чтобы воспользоваться данными функциями необходимо подключить заголовочный файл
Log10(10) = 1 log10(1) = 0 log(2.718281) = 1 sqrt(9) = 3 pow(2,3) = 8 abs(0) = 0 abs(-5) = 5 ceil(3.14) = 4 ceil(-2.4) = -2 floor(3.14) = 3 floor(-2.4) = -3 fmod(2.4/2.0) = 0.4
Рисунок 1 — Математические функции в С++
Чтобы увидеть полный перечень функций в данном заголовочном файле, просто откройте его. Сделать это можно либо через поиск, либо через обозреватель решений , если программируете в MVS (см. Рисунок 2). В «Обозревателе решений » открываем вложенный каталог «Внешние зависимости «, в нём находим файл cmath . Открыв его, можно увидеть полный список математических функций.
Рисунок 2 — Математические функции в С++
Открыть заголовочный файл можно, нажав правой кнопкой мыши по его имени, как показано на рисунке 3. В появившемся окне выбираем пункт Открыть документ
Рисунок 3 — Математические функции в С++
Чаще всего среди доступных групп функций пользователи Экселя обращаются к математическим. С помощью них можно производить различные арифметические и алгебраические действия. Их часто используют при планировании и научных вычислениях. Узнаем, что представляет собой данная группа операторов в целом, и более подробно остановимся на самых популярных из них.
С помощью математических функций можно проводить различные расчеты. Они будут полезны студентам и школьникам, инженерам, ученым, бухгалтерам, планировщикам. В эту группу входят около 80 операторов. Мы же подробно остановимся на десяти самых популярных из них.
Открыть список математических формул можно несколькими путями. Проще всего запустить Мастер функций, нажав на кнопку «Вставить функцию» , которая размещена слева от строки формул. При этом нужно предварительно выделить ячейку, куда будет выводиться результат обработки данных. Этот метод хорош тем, что его можно реализовать, находясь в любой вкладке.
Также можно запустить Мастер функций, перейдя во вкладку «Формулы» . Там нужно нажать на кнопку «Вставить функцию» , расположенную на самом левом краю ленты в блоке инструментов «Библиотека функций» .
Существует и третий способ активации Мастера функций. Он осуществляется с помощью нажатия комбинации клавиш на клавиатуре Shift+F3 .
После того, как пользователь произвел любое из вышеуказанных действий, открывается Мастер функций. Кликаем по окну в поле «Категория» .
Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Математические» .
После этого в окне появляется список всех математических функций в Excel. Чтобы перейти к введению аргументов, выделяем конкретную из них и жмем на кнопку «OK» .
Существует также способ выбора конкретного математического оператора без открытия главного окна Мастера функций. Для этого переходим в уже знакомую для нас вкладку «Формулы» и жмем на кнопку «Математические» , расположенную на ленте в группе инструментов «Библиотека функций» . Открывается список, из которого нужно выбрать требуемую формулу для решения конкретной задачи, после чего откроется окно её аргументов.
Правда, нужно заметить, что в этом списке представлены не все формулы математической группы, хотя и большинство из них. Если вы не найдете нужного оператора, то следует кликнуть по пункту «Вставить функцию…» в самом низу списка, после чего откроется уже знакомый нам Мастер функций.
СУММ
Наиболее часто используется функция СУММ . Этот оператор предназначен для сложения данных в нескольких ячейках. Хотя его можно использовать и для обычного суммирования чисел. Синтаксис, который можно применять при ручном вводе, выглядит следующим образом:
СУММ(число1;число2;…)
В окне аргументов в поля следует вводить ссылки на ячейки с данными или на диапазоны. Оператор складывает содержимое и выводит общую сумму в отдельную ячейку.
СУММЕСЛИ
Оператор СУММЕСЛИ также подсчитывает общую сумму чисел в ячейках. Но, в отличие от предыдущей функции, в данном операторе можно задать условие, которое будет определять, какие именно значения участвуют в расчете, а какие нет. При указании условия можно использовать знаки «>» («больше»), «<» («меньше»), «< >» («не равно»). То есть, число, которое не соответствует заданному условию, во втором аргументе при подсчете суммы в расчет не берется. Кроме того, существует дополнительный аргумент «Диапазон суммирования» , но он не является обязательным. Данная операция имеет следующий синтаксис:
СУММЕСЛИ(Диапазон;Критерий;Диапазон_суммирования)
ОКРУГЛ
Как можно понять из названия функции ОКРУГЛ , служит она для округления чисел. Первым аргументом данного оператора является число или ссылка на ячейку, в которой содержится числовой элемент. В отличие от большинства других функций, у этой диапазон значением выступать не может. Вторым аргументом является количество десятичных знаков, до которых нужно произвести округление. Округления проводится по общематематическим правилам, то есть, к ближайшему по модулю числу. Синтаксис у этой формулы такой:
ОКРУГЛ(число;число_разрядов)
Кроме того, в Экселе существуют такие функции, как ОКРУГЛВВЕРХ и ОКРУГЛВНИЗ , которые соответственно округляют числа до ближайшего большего и меньшего по модулю.
ПРОИЗВЕД
Задачей оператора ПРИЗВЕД является умножение отдельных чисел или тех, которые расположены в ячейках листа. Аргументами этой функции являются ссылки на ячейки, в которых содержатся данные для перемножения. Всего может быть использовано до 255 таких ссылок. Результат умножения выводится в отдельную ячейку. Синтаксис данного оператора выглядит так:
ПРОИЗВЕД(число;число;…)
ABS
С помощью математической формулы ABS производится расчет числа по модулю. У этого оператора один аргумент – «Число» , то есть, ссылка на ячейку, содержащую числовые данные. Диапазон в роли аргумента выступать не может. Синтаксис имеет следующий вид:
ABS(число)
СТЕПЕНЬ
Из названия понятно, что задачей оператора СТЕПЕНЬ является возведение числа в заданную степень. У данной функции два аргумента: «Число» и «Степень» . Первый из них может быть указан в виде ссылки на ячейку, содержащую числовую величину. Второй аргумент указывается степень возведения. Из всего вышесказанного следует, что синтаксис этого оператора имеет следующий вид:
СТЕПЕНЬ(число;степень)
КОРЕНЬ
Задачей функции КОРЕНЬ является извлечение квадратного корня. Данный оператор имеет только один аргумент – «Число» . В его роли может выступать ссылка на ячейку, содержащую данные. Синтаксис принимает такую форму:
КОРЕНЬ(число)
СЛУЧМЕЖДУ
Довольно специфическая задача у формулы СЛУЧМЕЖДУ . Она состоит в том, чтобы выводить в указанную ячейку любое случайное число, находящееся между двумя заданными числами. Из описания функционала данного оператора понятно, что его аргументами является верхняя и нижняя границы интервала. Синтаксис у него такой:
СЛУЧМЕЖДУ(Нижн_граница;Верхн_граница)
ЧАСТНОЕ
Оператор ЧАСТНОЕ применяется для деления чисел. Но в результатах деления он выводит только четное число, округленное к меньшему по модулю. Аргументами этой формулы являются ссылки на ячейки, содержащие делимое и делитель. Синтаксис следующий:
ЧАСТНОЕ(Числитель;Знаменатель)
РИМСКОЕ
Данная функция позволяет преобразовать арабские числа, которыми по умолчанию оперирует Excel, в римские. У этого оператора два аргумента: ссылка на ячейку с преобразуемым числом и форма. Второй аргумент не является обязательным. Синтаксис имеет следующий вид:
РИМСКОЕ(Число;Форма)
Выше были описаны только наиболее популярные математические функции Эксель. Они помогают в значительной мере упростить различные вычисления в данной программе. При помощи этих формул можно выполнять как простейшие арифметические действия, так и более сложные вычисления. Особенно они помогают в тех случаях, когда нужно производить массовые расчеты.
Определение
Функцией
y = f(x)
называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x
множества X
ставится в соответствие один и только один элемент y
множества Y
.
Множество X
называется областью определения функции
.
Множество элементов y ∈
Y
,
которые имеют прообразы во множестве X
,
называется множеством значений функции
(или областью значений
).
Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.
Элемент x ∈
X
называют аргументом функции
или независимой переменной
.
Элемент y ∈
Y
называют значением функции
или зависимой переменной
.
Само отображение f называется характеристикой функции .
Характеристика f обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .
Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y - это элемент из множества значений функции, а - это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y .
Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X . Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y . На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y .
Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.
Графиком функции f называется множество пар .
Сложные функции
Определение
Пусть заданы функции и .
Причем область определения функции f
содержит множество значений функции g
.
Тогда каждому элементу t
из области определения функции g
соответствует элемент x
,
а этому x
соответствует y
.
Такое соответствие называют сложной функцией
: .
Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так: .
В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и - это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и - это разные функции.
Действительные функции
Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности - это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений - вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора .
Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов .
Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения - это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов - “истина” и “ложь”.
В математическом анализе большую роль играют числовые функции.
Числовая функция - это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.
Действительная или вещественная функция - это функция, значениями которой являются действительные числа.
Максимум и минимум
Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу)
, если существует такое число M
,
что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной
, если существует такое число M
,
что для всех :
.
Максимумом M
(минимумом m
)
функции f
,
на некотором множестве X
называют значение функции при некотором значении ее аргумента ,
при котором для всех ,
.
Верхней гранью
или точной верхней границей
действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого превосходит s′
:
.
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Верхней гранью неограниченной сверху функции
Нижней гранью
или точной нижней границей
действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i
,
для которого для всех и для любого ,
найдется такой аргумент ,
значение функции от которого меньше чем i′
:
.
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .
Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X , имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.
В качестве примера рассмотрим функцию ,
заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1
и снизу - значением 0
:
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.
Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке ,
то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.
Монотонные функции
Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X
.
Функция называется строго возрастающей (строго убывающей)
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей)
, если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Определение монотонной функции
Функция называется монотонной
, если она неубывающая или невозрастающая.
Многозначные функции
Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.
Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.
В качестве примера рассмотрим функцию арксинус
: .
Она является обратной к функции синус
и определяется из уравнения:
(1)
.
При заданном значении независимой переменной x
,
принадлежащему интервалу ,
этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y
(см. рисунок).
Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)
.
При таком условии, заданному значению ,
соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.
Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)
,
где n
- целое. В результате, для каждого значения n
,
мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией
. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией
.
Это совокупность функций, определенных на некотором множестве.
Ветвь многозначной функции - это одна из функций, входящих в многозначную функцию.
Однозначная функция - это функция.
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
В составе MQL4 имеются математические и тригонометрические функции. Использование большинства из них не вызывает никаких затруднений. Например, функция MathMax() возвращает максимальное из двух числовых значений, указанных в списке параметров вызова функции. Использование других функций требует определённой внимательности и вдумчивости. Рассмотрим одну из таких функций.
Функция MathFloor()
double MathFloor (double x )Функция возвращает числовое значение, представляющее наибольшее целое число, которое меньше или равно x.
Параметры:
x - числовое значение.
Обратите внимание, значение, возвращаемое функцией, является действительным числом (типа double), в то же время в назначении функции указано, что функция возвращает целое число. Это нужно понимать так, что функция возвращает действительное число, у которого во всех разрядах после разделительной точки указаны нули. Например, функция MathFloor() может вернуть 37.0 (положительное число типа double) или -4.0 (отрицательное число типа double).
В описании также указано, что функция возвращает максимальное из возможных чисел, которое меньше заданного. Например, если значение передаваемого параметра х равно 13.5, то максимальное действительное число, имеющее после разделительной только нули, равно 13.0. Если же в вызове функции указано отрицательное число -13.5, то максимальное меньшее целое число равно -14.0. Таким образом, изменение знака передаваемого параметра приводит к разным результатам, а именно, получаемые значения не равны по модулю.
В некоторых случаях использование подобных функций оказывается очень удобным. Для примера рассмотрим фрагмент расчёта количества лотов для новых ордеров:
int Percent = 30 ; // % свободных средствdouble Free = AccountFreeMargin () ; // Свободные средства
double One_Lot = MarketInfo (Symb , MODE_MARGINREQUIRED ) ; //Стоим. 1 лота
double Step = MarketInfo (Symb , MODE_LOTSTEP ) ; // Шаг изменен размера
double Lots_New = MathFloor (Free * Percent /100 /One_Lot/ Step ) * Step ;
Значение переменной Percent задаётся пользователем. В данном случае пользователь выделил для новых ордеров 30% свободных средств. В соответствии с правилами, установленными дилинговым центром, правильно вычисленное количество лотов должно быть кратно минимальному шагу изменения размера лотов (Step). Для расчёта необходимы также значения свободных средств на счёте (Free) и стоимости одного лота (One_Lot).
Рассмотрим логику рассуждений программиста, составившего формулу для расчёта искомого количества лотов Lots_New для новых ордеров. Используем для наглядности численные значения переменных. Пусть Free = 5000.0, One_Lot = 1360.0 (в большинстве ДЦ стоимость 1 лота для валютной пары, в знаменателе которой USD, пропорциональна цене по валютному инструменту), Step = 0.1. В этом случае программную строку для вычисления Lots_New можно переписать так:
Lots_New = MathFloor(5000.0*30/100/1360.0/0.1)*0.1;
Значением выражения 5000.0*30/100 является количество средств, выделенных пользователем для открытия нового ордера. В данном случае стоимость нового ордера может достигать 1500.0. Потратив все эти средства можно открыть один ордер, количество лотов у которого равно 1500.0 / 1360.0 = 1.102941. Однако дилинговый центр не примет заявку на такое количество лотов, т.к. минимальный шаг (в большинстве дилинговых центров) Step = 0.1. Для вычисления искомого количества лотов необходимо отбросить "лишние" цифры в дробной части и заменить их нулями.
Для этого можно воспользоваться рассматриваемой математической функцией:
Lots_New = MathFloor(1.102941/0.1)*0.1;
Результатом вычисления MathFloor(1.102941/0.1) будет число 11.0, а вычисленным значением переменной Lots_New - число 1.1 лота. Это значение соответствует правилам, установленным дилинговым центром, поэтому его можно использовать как заявляемое количество лотов для новых ордеров.
Математические функции
| Функция | Краткое описание |
|---|---|
| MathAbs | Функция возвращает абсолютное значение (значение по модулю) переданного ей числа. |
| MathArccos | Функция возвращает значение арккосинуса x в диапазоне 0 к π в радианах. Если x меньше -1 или больше 1, функция возвращает NaN (неопределенное значение) |
| MathArcsin | Функция возвращает арксинус x в диапазоне от -π/2 до π/2 радианов. Если x -, меньше -1 или больше 1, функция возвращает NaN (неопределенное значение). |
| MathArctan | Функция возвращает арктангенс x . Если x равен 0, функция возвращает 0. MathArctan возвращает значение в диапазоне от -π/2 до π/2 радианов. |
| MathCeil | Функция возвращает числовое значение, представляющую наименьшее целое число, которое больше или равно x . |
| MathCos | Функция возвращает косинус угла. |
| MathExp | Функция возвращает значение числа e в степени d . При переполнении функция возвращает INF (бесконечность), в случае потери порядка MathExp возвращает 0. |
| MathFloor | Функция возвращает числовое значение, представляющее наибольшее целое число, которое меньше или равно x . |
| MathLog | Функции возвращают натуральный логарифм x в случае успеха. Если x отрицателен, функция возвращает NaN (неопределенное значение). Если x равен 0, функция возвращает INF (бесконечность). |
| MathMax | Функция возвращает максимальное из двух числовых значений. |
| MathMin | Функция возвращает минимальное из двух числовых значений. |
| MathMod | Функция возвращает вещественный остаток от деления двух чисел. Функция MathMod рассчитывает вещественный остаток f от x / y таким образом, что x = i * y + f , где i является целым числом, f имеет тот же знак, что и x , и абсолютное значение f меньше, чем абсолютное значение y . |
| MathPow | Функция возвращает значение основания, возведенного в указанную степень. |
| MathRand | Функция возвращает псевдослучайное целое число в дипазоне от 0 до 32767. Перед первым вызовом функции необходимо использовать функцию MathSrand , чтобы перевести генератор псевдослучайных чисел в начальное состояние |
| MathRound | Функция возвращает значение, округленное до ближайшего целого числа указанного числового значения. | или к разделу "Справка" в редакторе MetaEditor.
